数论和基础数学

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整除

定义:设 $a, b\in Z$,$a\neq 0$,如果存在 $q\in Z$ 使得 $b=aq$,那么就说 $b$ 可被 $a$ 整除,记作 $a\mid b$,且称 $b$ 是 $a$ 的倍数,$a$ 是 $b$ 的约数(也称除数、因数)。

带余数除法

设 $a, b$ 是 $2$ 个正整数,且 $b\neq 0$,则存在唯一整数 $q$ 和 $r$,使 $a=qb+r,\ 0\leqslant r<\left| b\right|$。这个式子叫做带余数除法,并记余数 $r=a\ \text{mod} \ b$。例如 $13\ \text{mod} \ 5=3$,$10\ \text{mod} \ 2=0$。当 $r=0$ 的时候,就出现了整除,$b$ 是 $a$ 的约数。

如果 $n$ 被 $2$ 除的余数为 $0$,称 $n$ 为偶数,如果 $n$ 被 $2$ 除的余数为 $1$,则称 $n$ 为奇数。

关于整除有下面这些性质:

  1. 若 $a\mid b$ 且 $a\mid c$,则 $\forall x,y$,有$a\mid xb+yc$。
  2. 若 $a\mid b$ 且 $b\mid c$,则 $a\mid c$。
  3. 设 $m\neq 0$,则 $a\mid b$,当且仅当 $ma\mid mb$。
  4. 若 $a\mid b$ 且 $b\mid a$,则 $a=\pm b$。
  5. 若 $a\mid b$ 且 $b\neq 0$,则 $\left| a\right| \leqslant \left| b\right|$。

关于余数有下面这些性质:

  1. $\left( a+b\right) \text{mod} \ p=(a\ \text{mod} \ p+b\ \text{mod} \ p)\text{mod} \ p$
  2. $\left( a\times b\right) \text{mod} \ p=(a\ \text{mod} \ p+\times b\ \text{mod} \ p)\text{mod} \ p$

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